บทที่ 5 การเคลื่อนที่แบบต่างๆ

การเคลื่อนที่แบบต่างๆ

การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์

ลักษณะการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์

การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ เป็นการเคลื่อนที่ 2 แนวพร้อมกัน คือ แนวระดับ และแนวดิ่ง ซึ่งพบว่า ความเร็วในแนวระดับ ไม่มีผลต่อการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง โดยจากการทดลองปล่อยวัตถุให้ตกอย่างอิสระ พร้อมกับวัตถุที่ถูกดีดออกไปในแนวระดับ พบว่า เมื่อใช้แรงมากวัตถุที่ถูกดีดจะตกไกล แต่ตกถึงพื้นพร้อมกับวัตถุที่ตกในแนวดิ่ง แสดงว่า การเคลื่อนที่ในแนวระดับไม่มีผลต่อการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง ดังนั้นเราจึงแยกพิจารณาการเคลื่อนที่ออกเป็น 2 แนว คือ ในแนวดิ่ง และในแนวระดับ

การเคลื่อนที่ในแนวระดับ
พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุในอากาศ ขณะที่วัตถุลอยในอากาศ มีแรงกระทำต่อวัตถุเพียงแรงเดียว คือ แรงดึงดูดของโลก

(ไม่คิดแรงต้านอากาศ) ในทิศเข้าสู่ศูนย์กลางของโลก หรือในแนวดิ่ง ดังนั้น ในแนวระดับจึงไม่มีแรงกระทำต่อวัตถุ หรือแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุในแนวระดับเป็นศูนย์

จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน เราพบว่า เมื่อไม่มีแรงลัพธ์มากระทำต่อวัตถุ วัตถุจะรักษาสภาพการเคลื่อนที่ให้คงที่ ผลคือ วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่

ดังนั้น การเคลื่อนที่ในแนวระดับของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ สามารถหาการกระจัดในแนวระดับได้ตามสมการ

เมื่อ Sx = การกระจัดในแนวระดับ ( m )

Ux = ความเร็วในแนวระดับ (m/s)

t = ช่วงเวลาของการเคลื่อนที (s)

การเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง พบว่า วัตถุมีแรงกระทำในแนวดิ่ง คือ แรงโน้มถ่วงของโลก ดังนั้น วัตถุเคลื่อนที่ในแนวดิ่งด้วยความเร่ง ay ซึ่งมีค่าเท่ากับความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วงของโลก

ดังนั้น การเคลื่อนที่ของวัตถุแบบโปรเจกไทล์ในแนวดิ่ง เหมือนวัตถุที่ตกอย่างอิสระทุกประการ ซึ่งสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวดิ่ง คือ

ความเร็ว

การกระจัด

โดยที่

สรุปการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์
1. วัตถุเคลื่อนที่อย่างอิสระ มีแรงดึงดูดของโลก mg กระทำเพียงแรงเดียว

2. วัตถุต้องมีความเร็วต้นในแนวระดับ Ux ส่วนในแนวดิ่ง Uy จะมีหรือไม่ก็ได้ โดย ความเร็วในแนวระดับคงที่เสมอ

3. เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ในแนวระดับ เท่ากับ ในแนวดิ่ง

4. การพิจารณาปริมาณในแนวดิ่ง ปริมาณที่มีทิศตรงข้ามกับความเร็วต้น U ให้มีเครื่องหมายติดลบ เช่น การขว้างวัตถุขึ้นในแนวดิ่ง พบว่า

เป็นต้น

5. การคำนวณปริมาณต่างในการเคลื่อนที่ ใช้สมการการเคลื่อนที่เหมือนการเคลื่อนที่ในแนวตรง แต่แยกพิจารณาในแนวดิ่ง (ความเร็วคงที่) และในแนวระดับ (การตกอย่างอิสระ)

การเคลื่อนที่แบบวงกลม

วัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม บนระนาบใดๆ อัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่งของวัตถุจะคงที่หรือไม่ก็ได้ แต่ความเร็วของวัตถุไม่คงที่แน่นอน เนื่องจากว่ามีการเปลี่ยนทิศาทางของการเคลื่อนที่ ตลอดเวลา ซึ่งเมื่อวัตถุที่มีการเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่แสดงว่า วัตถุนี้ต้องมีองค์ประกอบของแรงมากระทำในทิศทางที่ตั้งฉากกับเส้นทางการเคลื่อนที่ด้วย และกรณีที่การเคลื่อนที่มีอัตราเร็วไม่คงที่ แสดงว่าต้องมีองค์ประกอบของแรงในทิศทางที่ขนานกับแนวการเคลื่อนที่ด้วย พิจารณา รูป

การเคลื่อนที่แบบวงกลมจัดเป็นหนึ่งในการเคลื่อนที่แบบ 2 มิติ ในการเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่จะทำการศึกษานั้น ความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมจะมีค่าคงที่หรือเท่ากันตลอดการเคลื่อนที่เรียกการเคลื่อนที่วงกลมแบบนี้ว่า การเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ (Uniform Circular Motion)

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม ลักษณะการเคลื่อนที่ของวัตถุจะมี แรงกระทำตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วเสมอตลอดการเคลื่อนที่ วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในแนววงกลม แต่ยังคงมีความเร่งเกิดขึ้น ซึ่งความเร่งจะขึ้นกับการเปลี่ยนเวกเตอร์ความเร็ว ซึ่งเวกเตอร์ความเร็วจะมีทิศสัมผัสกับเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุและมีทิศตั้งฉากกับแนวรัศมีวงกลม เรียกความเร่งชนิดนี้ว่า ความเร่งแนวสัมผัสวงกลม ( aT)

เวกเตอร์ความเร่งในการเคลื่อนที่แบบวงกลมจะมีทิศตั้งฉากกับเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุและมีทิศพุ่งเข้าสู่จุดศูนย์กลางวงกลมเสมอ เราเรียกความเร่งนี้ว่า ความเร่งสู่ศูนย์กลาง (ac )

คาบ (T) คือ เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ หรือ วินาทีต่อรอบ (s)

ความถี่ (f) คือ จำนวนรอบที่เคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา หรือ รอบต่อวินาที (Hz)

เมื่อวัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่ คาบ และความถี่จะมีค่าคงที่ โดยคาบและความถี่สัมพันธ์กันโดย

อัตราเร็วเชิงเส้น (v) คือ ระยะทางตามแนวเส้นรอบวงของวงกลมที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา ( m/s)

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง วัตถุที่เคลื่อนที่ เป็นวงกลมจะเกิดความเร่ง 2 แนว คือ ความเร็วแนวเส้นสัมผัสวงกลม และความเร่งแนวรัศมีหรือความเร่งสู่ศูนย์กลาง

ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่ เช่น วงกลมในแนวระนาบจะเกิดความเร่งสู่ศูนย์กลางเพียงแนวเดียว

การที่วัตถุมีอัตราเร็วเท่าเดิม แต่ทิศทางเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ย่อมหมายความว่า ต้องมีความเร็วอื่นมาเกี่ยวข้องด้วย ความเร็วที่มาเกี่ยวข้องนี้จะพิสูจน์ได้ว่า มีทิศทางเข้าสู่จุดศูนย์กลางของการเคลื่อนที่ และความเร็วนี้เมื่อเทียบกับเวลาจะเป็นความเร่งซึ่งมีค่า

การหาแรงที่ทำให้วัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลม

จากกฎการเคลื่อนที่ ข้อที่สองของนิวตัน และการเคลื่อนที่แบบวงกลม แรงลัพธ์ที่มากระทำต่อวัตถุกับความเร่งของวัตถุจะมีทิศทางเดียวกัน คือทิศพุ่งเข้าหาจุดศูนย์กลาง ซึ่งเขียนเป็นสมการได้ว่า

อัตราเร็วเชิงมุม (Angular speed)

อัตราเร็วของวัตถุที่ เคลื่อนที่แบบวงกลมที่กล่าวมาแล้วนั้นคือความยาวของเส้นโค้งที่วัตถุเคลื่อน ที่ได้ในเวลา 1 วินาที ซึ่งเราอาจเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า อัตราเร็วเชิงเส้น (v)

แต่ในที่นี้ยังมีอัตราเร็วอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งเป็นการบอกอัตราการเปลี่ยนแปลงของมุมที่จุดศูนย์กลาง เนื่องจากการกวาดไปของรัศมี ใน 1 วินาที เรียกว่า อัตราเร็วเชิงมุม (w) อ่านว่า โอเมก้า

นิยามอัตราเชิงมุม (w) คือ มุมที่รัศมีกวาดไปได้ใน 1 วินาทีมีหน่วยเป็น เรเดียน/วินาที

การบอกมุมนอกจากจะมีหน่วยเป็นองศาแล้ว ยังอาจใช้หน่วยเป็นเรเดียน (radian) โดยมีนิยามว่า มุม 1 เรเดียน มีค่าเท่ากับมุมที่จุดศุนย์กลางของวงกลม ซึ่งมีเส้นโค้งรองรับมุมยาวเท่ากับรัศมี หรือกล่าวได้ว่ามุมในหน่วยเรเดียน คือ อัตราส่วนระหว่างส่วนเส้นโค้งที่รองรับมุมกับรัศมีของวงกลม

ถ้า a คือ ความยาวองส่วนโค้งที่รองรับมุม

r คือ รัศมีของส่วนโค้ง

q คือ มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นเรเดียน

ความสัมพันธ์ระหว่างมุมในหน่วยองศากับเรเดียน

เมื่อพิจารณาวงกลม พบว่ามุมรอบจุดศูนย์กลางของวงกลมเท่ากับ 360 องศา โดยส่วนโค้งที่รองรับมุมก็คือเส้นรอบวงนั้นเอง

ดังนั้น สรุปได้ว่า มุม 360 องศา เทียบเท่ากับมุม 2p เรเดียน เมื่อพิจารณาวัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่ครบ 1 รอบพอดี

ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วเชิงเส้น (v) และอัตราเร็วเชิงมุม (w)

การเคลื่อนที่ในแนวราบ

ตัวอย่างการเกิดการเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ

เชือกเบายาว L ปลายข้างหนึ่งติดวัตถุมวล m อีกปลายตรึงแน่นแกว่งให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ รัศมี r ด้วยอัตราเร็วคงที่ v และเชื่อกทำมุม q กับแนวระดับดังรูป

ขณะมวล m เคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ ได้รับแรงกระทำ 2 แรงคือ แรงตึงเชือกและน้ำหนังของวัตถุเมื่อแตกแรงต่าง ๆ แล้วจะได้

พิจารณาลูกกลมโลหะ ซึ่งเคลื่อนที่ตามรางเรียบรูปวงกลมในแนวดิ่ง โดยเคลื่อนที่รอบด้านในของวงกลม เส้นทางการเคลื่อนที่ของ ลูกกลมโลหะจะเป็นแนววงกลมในระนาบดิ่ง ทุก ๆ ตำแหน่งที่ลูกกลมโหละจะต้องมีแรงสู่ศูนย์กลาง เพื่อเปลี่ยนทิศทางความเร็วของลูกกลมโลหะ ให้เคลื่อนที่เป็นวงกลม แรงสู่ศูนย์กลางนี้เกิดจากรางออกแรงดันลูกกลมโลหะ ซึ่งเป็นแรงปฏิกิริยาของรางที่โต้ตอบกับแรงที่ลูกกลมโลหะ ออกแรงดันราง และแรงสู่ศูนย์กลางบางช่วงจะมาจากแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อลูกกลมโลหะ

ในกรณีลูกกลมโลหะมวล m อยู่ ณ ตำแหน่งล่างสุดของรางที่มีรัศมีความโค้ง r ให้แรงที่รางดันลูกกลมโลหะในแนวตั้งฉากกับผิวของรางเท่ากับ F และแรงที่โลกดึงดูดลูกกลม คือ mg แรงลัพธ์ของแรงทั้งสองคือ แรงสู่ศูนย์กลาง

ถ้าลูกกลมอยู่ ณ ตำแหน่งสูงสุด จะได้

การเคลื่อนที่บนทางโค้ง

ขณะรถเลี้ยวโค้ง บนถนนโค้งราบ ซึ่งมีแนวทางการเคลื่อนที่ เป็นส่วนโค้งของวงกลมดังรูป ดังนั้นต้องมีแรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อวัตถุ

เมื่อพิจารณาแรงกระทำต่อรถในแนวระดับพบว่าขณะรถเลี้ยว พยายามไถลออกจากโค้ง จึงมีแรงเสียดทาน ที่พื้นกระทำต่อล้อรถในทิศทาง พุ่งเข้าในแนวผ่านศูนย์กลางความโค้ง

ดังนั้น แรงเสียดทาน = แรงสู่ศูนย์กลาง

ถ้ารถเลี้ยวด้วยอัตราเร็วสูงสุดได้ปลอดภัย

การหามุมเอียงของรถจักรยานยนต์ขณะเลี้ยว

ขณะเลี้ยวรถแรงกระทำต่อ รถมี mg, N และ f ซึ่งแรง N และ f รวมกันได้ เป็นแรงลัพธ์ R C.M. จะก่อให้เกิดโมเมนต์ ทำให้รถคว่ำขณะเลี้ยวดังรูป ถ้าไม่ต้องการให้รถคว่ำต้องเอียงรถ ให้จุดศูนย์กลางของมวล ผ่านแนวแรง R ขณะเลี้ยว รถจึงเลี้ยวได้โดยปลอดภัยไม่พลิกคว่ำดังรูป

รูปแสดงแรงกระทำต่อรถจักรยานยนต์ขณะเลี้ยวบนถนนโค้งราบ ถ้าเลี้ยวรถรถด้วยอัตราเร็วสูงสุด พบว่า

ไม่ว่ารถจักรยานยนต์เลี้ยวโค้งแล้วเอียงรถ หรือ รถจักรยานยนต์ เลี้ยวโค้งบนพื้นเอียงลื่น มุม q ที่เกิดจากการเอียงของทั้งสองกรณีคือมุมเดียวกัน ใช้สูตรเดียวกันคือ

การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย

การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย(Simple Harmonic Motion : SHM) เป็นการเคลื่อนที่แบบเป็นคาบอย่างหนึ่ง คือ เคลื่อนที่กลับไปมาซ้ำทางเดิมโดยผ่านตำแหน่งสมดุล และมีคาบของการเคลื่อนที่คงตัว เช่น การเคลื่อนที่ของวัตถุติดปลายสปริง เป็นต้น

ความถี่ (f) คือ จำนวนรอบของการเคลื่อนที่ใน 1 วินาที หน่วยเป็น เฮิรตซ์ (Hz)

คาบ (T) คือ เวลในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ หน่วยเป็นวินาที (s)

ความถี่และคาบมีความสัมพันธ์กันตามสมการ

การกระจัด x ในรูปฟังก์ชั่นของเวลา t ของ SHM เขียนได้เป็น

เป็นการกระจัดสูงสุดหรือแอมพิจูด

เป็นความถี่เชิงมุมมีค่าเท่ากับ

หรือ

เป็นค่าคงตัวทางเฟสหมายถึงเฟสเริ่มต้น

จากรูป หากอนุภาคเริ่มเคลื่อนที่จากตำแหน่งสมดุล ( x = 0) ซึ่งมีลักษณะเช่นเดียวกับกราฟของ

จะได้สมการการเคลื่อนที่แบบ SHM รูปทั่วไปเป็น

ลักษณะสำคัญประการหนึ่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่าง่ายคือ การมีความเร่งแปรผันตรง กับการ กระจัด แต่มีทิศตรงกันข้าม โดยทิศของความเร่งจะเป็นทิศเดียวกับเรง และแรงจะต้องเป็นแรงเข้าหาจุดสมดุลในณะที่การกระจัดมีทิศออกไปจากจุดสมดุล ดังสมการ